Matematyką można opisać świat

polskieradio.pl
Joanna Łopat 09.05.2013
Matematyką można opisać świat
foto: Alegri/ 4freephotos

Sprawdź, jak różne modele matematyczne wykorzystywane są do opisu zjawisk przyrodniczych.

Pokazy Wydziału Matematyczno-Przyrodniczego Szkoły Nauk Ścisłych Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego:

Intuicja i rozumowanie

Wiedza o prawach natury opiera się na obserwacjach i spostrzeżeniach. Obserwacje wyrabiają intuicję, która pomaga w tworzeniu hipotez i rozwiązywaniu wielu zagadnień. Nie zawsze jednak rozwiązanie intuicyjne jest trafne. Przedstawiony zostanie przykład błędnego wnioskowania na podstawie intuicji podany przez Morrisa Kline'a oraz przykład bardzo starego rozumowania matematycznego zastosowanego przez Eratostenesa. Jako ćwiczenie przedstawione zostaną dwa problemy dla gości.

Jaki koń jest, każdy widzi

Przemieszczając jedną zapałkę, należy zbudować konia patrzącego w przeciwnym kierunku. Z dziesięciu monet zbudowany jest trójkąt, który należy przebudować za pomocą trzech monet. Czterema kreskami należy połączyć dziewięć kropek. Z tego typu wyzwaniami będzie musiał poradzić sobie zwiedzający.

Chodź, pomaluj mój graf na żółto i na niebiesko...

Twierdzenie Ramsey'a mówi, że jeśli pokolorujemy krawędzie odpowiednio dużego grafu na dwa kolory, to znajdziemy zbiór krawędzi jednego koloru tworzący klikę ustalonego wcześniej rozmiaru. Uczestnicy pokazu w pierwszej części staraliby się pokolorować krawędzie grafów o pięciu lub sześciu wierzchołkach tak, aby uniknąć jednokolorowego trójkąta (odpowiednie kolorowanie istnieje tylko dla mniejszego z grafów). Następnie prowadzący informowałby, że odpowiednie kolorowanie większego grafu nie istnieje, a uczestnicy poznawaliby twierdzenie Ramsey'a oraz jego związki z niedowodliwością w arytmetyce.

Trójkąt Pascala i poker

Wielki francuski filozof i matematyk Blaise Pascal był zmuszony do zainteresowania się hazardem i stał się dzięki temu jednym z twórców teorii prawdopodobieństwa. Przedstawione zostaną proste kombinatoryczne zadania, których rozwiązania matematyczne są sprzeczne z intuicją.

Ile waży Stanisław?

Zanim odpowiemy na pytanie zawarte w tytule przedstawiony zostanie zarys historyczny metrologii (dział poświęcony różnym rodzajom miar). Opowiedziana zostanie historia "wagi" oraz opisane różne sposoby opisywania miar w Polsce i na świecie.

W szeregu zbiórka!

Przedstawiona zostanie teoria dotycząca szeregów liczbowych oraz zagadnienie wyścigu Achillesa z żółwiem, które prowadzi do wielu paradoksów (szybkonogi Achilles nie dogoni żółwia, wypuszczona z napiętego łuku strzała jest w każdej chwili nieruchoma, a więc stale w bezruchu).

Sprowadźmy to do problemu wcześniej rozwiązanego

Zwiedzający dowie się, czym jest rekurencja i jakie znaczenie ma w informatyce. Opowiemy tybetańską legendę o wieży Hanoi i objaśnimy reguły tej układanki. Zaprezentujemy algorytm rozwiązujący ją w sposób rekurencyjny. Podamy przykłady definicji opartych o rekurencję i równań rekurencyjnych.

Jak podzielić koraliki?

Chcemy podzielić po równo między dwie osoby naszyjniki złożony z dwukolorowych koralików. Czy jest możliwy taki podział, żeby obydwie osoby dostały po tyle samo koralików obydwu kolorów bez rozsypania koralików?

Origami

Obok chińskiej gry, do której używa się kwadratu podzielonego na 7 części istnieje nie mniej ciekawa i starożytna japońska gra origami. Do tej gry (w postaci klasycznej) służy kwadratowy arkusz papieru, który przy pomysłowości i zdolnych rękach przybiera kształt ptaków, ryb, zwierząt oraz różnych przedmiotów, przy czym papierowy kwadrat wolno tylko zginać nie wolno go rozcinać.

Stabilność stochastycznych układów hybrydowych

Do opisu zjawisk występujących w przyrodzie używa się różnych modeli matematycznych. Modele te są najczęściej opisane pewnym wektorowym równaniem różniczkowym. Modele deterministyczne są często niewystarczające do opisu zjawisk dynamicznych ze względu na losowe zakłócenia występujące w przyrodzie, dlatego też dla pełniejszego opisu zjawiska używa się modeli stochastycznych. W wielu układach praktycznych ciągłe procesy fizyczne ewoluują niejednakowo dla różnych stanów układu. Bardzo prostym przykładem takiego zjawiska jest rzut ukośny kulki lecącej na przemian w powietrzu i w wodzie. W każdym z ośrodków równanie ruchu jest inne (różne są siły oporu). Modelem matematycznym jest tu układ złożony z dwóch przełączających się między sobą podukładów, które opisują stan kulki w powietrzu i w wodzie. Wówczas do opisu takich zjawisk można wykorzystać deterministyczne i stochastyczne układy hybrydowe, tzn. układy, które wykazują zarówno ciągłe jak i dyskretne własności dynamiczne. W prezentacji tej przybliżymy podstawowe definicje i pojęcia dotyczące układów hybrydowych, przy czym dokładniej zostanie omówiony problem stabilności stochastycznych układów hybrydowych.