Анджей Почобут родился в поселке Большая Берестовица на самой границе Польши и Беларуси. Значительная часть населения этой местности является католиками и считает себя поляками. Почобут являлся одним из видных деятелей Союза поляков Беларуси, входил в руководство этой организации.
В 1993 году Почобут основал панк-рок-группу Deviation. Является кандидатом в мастера спорта по шахматам.
В 1998 году окончил юридический факультет Гродненского государственного университета имени Янки Купалы. Некоторое время работал преподавателем в Гродненском государственном политехническом колледже.
С 2002 года занялся журналистикой. Сотрудничал с белорусскими негосударственными изднаиями, а также газетой Союза поляков Беларуси Głos znad Niemna, работал главным редактором издания СПБ Magazyn Polski na uchodźstwie. С 2006 года являлся корреспондентом польской газеты Gazeta Wyborcza.
Не раз преследовался режимом Лукашенко. Первое крупное уголовное дело против Почобута было возбуждено в 2011 году по статье «оскорбление президента Республики Беларусь» из-за его публикаций в СМИ (в том числе в Gazeta Wyborcza) и личном блоге. Журналиста задержали в апреле по дороге в Минск, где он планировал участвовать в телемосте с депутатами Европарламента. В июле 2011 года суд признал его «виновным» в «клевете» на Лукашенко и приговорил к трем годам лишения свободы с отсрочкой исполнения приговора на два года. При этом по статье об «оскорблении» Лукашенко Почобут был оправдан.
В июне 2012 года Почобута вновь задержали — снова по обвинению в «клевете». Поводом стали его публикации о расследовании теракта, совершенного в 2011 году в минском метро. 30 июня его освободили под подписку о невыезде, а в 2013 году дело было прекращено за отсутствием состава преступления. Тогда же его окончательно освободили от наказания по предыдущему приговору.
25 марта 2021 года Почобута задержали вместе с другими активистами Союза поляков Беларуси. 8 февраля 2023 года Гродненский областной суд приговорил его к 8 годам лишения свободы в колонии усиленного режима. Его признали виновным по статьям о «разжигании вражды» и в призывах к действиям «против национальной безопасности». Обвинения были связаны с публикациями о событиях 2020 года в Беларуси, когда многие белорусы протестовали против фальсификации результатов выборов президента страны, а также с историческими материалами Почобута, в том числе о событиях 1939 года на современных западнобелорусских территориях (вторжение СССР на территорию Польши) и деятельности здесь польской Армии Крайовой (во время и после Второй мировой войны).
В конце декабря 2020 года в интервью Польскому радио Анджей Почобут рассказал, что работа журналистов в Беларуси стала крайне сложной:
«Если человек в жилете с надписью «Пресса» появляется на демонстрации, его в течение нескольких минут задерживают. Власти стремятся к тому, чтобы информация о том, что происходит в Беларуси, не попадала в мир и в интернет».
Почобут отбывал наказание в исправительной колонии № 1 в Новополоцке. Он отказывался просить Александра Лукашенко о помиловании и покидать Беларусь.
Анджей Почобут женат, у него двое детей — сын и дочь.
В 2025 году Почобут был удостоен премии имени им. Андрея Сахарова, присуждаемой Европейским парламентом за борьбу за свободу и демократию.
Президент Польши Кароль Навроцки 11 ноября 2025 года, по случаю Дня независимости страны, наградил Анджея Почобута орденом Белого орла.
В апреле 2026 года Сенат Республики Польша единогласно принял резолюцию по случаю 5-й годовщины ареста Почобута, призвав власти Беларуси прекратить репрессии, освободить всех политических заключенных.
28 апреля Анджей Почобут был освобожден из тюрьмы режима Лукашенко. Премьер-министр Польши Дональд Туск лично встретил его на границе Польши и Беларуси.
IAR/PAP/vk