Przyszły purpurat urodził się 5 lipca 1924 r. w Sydney (Australia). Po ukończeniu Parramatta High School w Sydney, wstąpił do służby cywilnej Nowej Południowej Walii i przez około trzy miesiące służył w Ministerstwie Transportu i Ruchu Drogowego. W lutym 1943 r. zaczął uczęszczać do St Dove's Seminary, Springwood, a od następnego roku do St Patrick's College, Manly, gdzie ukończył studia filozoficzno-teologiczne. Święcenia kapłańskie przyjął 23 lipca 1949 roku w katedrze Sydney, i został włączony do prezbiterium diecezji Wagga Wagga gdzie w latach 1950-1952 posługiwał jako wikariusz w parafii Yenda. Od 1952 r. studiował prawo kanoniczne na Papieskim Uniwersytecie Laterańskim w Rzymie, który ukończył w 1955 r. z wyróżnieniem, za studium historyczno-prawne na temat znaczenia delegata apostolskiego. Od 1953 r. studiował również w Papieskiej Akademii Kościelnej, a następnie wstąpił do służby dyplomatycznej Stolicy Apostolskiej.
Pierwszym miejscem jego pracy była Internuncjatura Apostolska w Indiach (1955-1962); następnie przez pięć lat, od 1962 do 1967, pracował w Nuncjaturze Apostolskiej w Dublinie, dwa lata w Salwadorze (1967-1969) i rok w Argentynie.
27 października 1970 r. św. Paweł VI mianował go arcybiskupem tytularnym Amanzia i jednocześnie pro-nuncjuszem w Republice Chińskiej (Tajwan), przyjął święcenia biskupie 15 listopada 1970 r. z rąk ówczesnego sekretarza stanu, kard. Jean-Marie Villota. 23 marca 1988 r. został mianowany substytutem w Sekretariacie Stanu ds. ogólnych, które to stanowisko piastował do 12 grudnia 1989 r., kiedy to został mianowany przewodniczącym Papieskiej Rady ds. Popierania Jedności Chrześcijan. 3 marca 2001 r. przeszedł na emeryturę i powrócił do Australii.
Był przewodniczącym delegowanym Specjalnego Zgromadzenia Synodu Biskupów dla Oceanii (listopad - grudzień 1998). Był członkiem Komitetu Wielkiego Jubileuszu Roku 2000. Św. Jan Paweł II włączył go do Kolegium Kardynalskiego na konsystorzu z dnia 28 czerwca 1991 r., z tytułem S. Maria in Via Lata. Po śmierci kard. Cassidy’ego Kolegium Kardynalskie liczy 225 członków, w tym 126 posiadających prawo do udziału w ewentualnym konklawe.
